|
left
|
Точка
зрения репетитора |
|
Колпаков Александр Николаевич, репетитор
математики Методика
заучивания формул по тригонометрии. Советы репетитора математики |
За годы моей работы репетитором по математике
доводилось слышать от учеников множество вопросов, не относящихся
напрямую к содержанию изучаемого материала. Природа некоторых из них
состоит в желании двигаться по наиболее легкому пути, не связанному
с большими затратами времени и сил. Например, часто спрашивают:
«Зачем именно сейчас, задолго до экзамена, учить наизусть формулы,
если при необходимости их можно взять из тетради, справочника или
учебника?» От сильных учеников приходилось даже слышать такое:
«Зачем формулы учить, если их можно вывести?». К сожалению, из года
в год приходится тратить время на утомительную и долгую
разъяснительную работу, убеждая школьников отказаться от такого
подхода при изучении математики. Но вести беседы методического плана
с учеником неправильно и не всегда эффективно. Представьте себе
доктора, который на клеточном уровне разъясняет больному причину
возникновения болезни и методологию подбора лекарств. Согласитесь,
что его задача - назначить курс лечения, а дело больного - следовать
ему.
То же самое с обучением. Однако, чтобы не быть голословным,
попробуем один раз и навсегда разобраться в проблеме. Зачем учить?
Наверное, репетитор не станет советовать то, что не улучшает общее
состояние «больного». Это действительно так. Практика показывает,
что математическое и интеллектуальное развитие ученика, формирование
базы знаний и навыков, идет значительно быстрее, если большая часть
используемой информации (формулы и свойства) будет находиться в его
голове. И чем прочнее и дольше она там удерживается, тем лучше.
Почему?
Во-первых, новые теоремы, свойства, взаимосвязи между различными
математическими объектами практически всегда требуют знаний или
особенностей каких-то ранее пройденных формул и понятий.
Концентрировать внимание на новом материале будет сложнее, если эти
особенности не смогут быстро извлекаться из памяти.
Во-вторых, незнание формул и свойств наизусть мешает поиску решения
содержательных задач с огромным количеством небольших операций, в
которых требуется не только провести определенные преобразования, но
и определить последовательность этих ходов, анализируя применение
нескольких формул на два-три шага вперед.
Остановимся на второй причине поподробнее. Процесс построения
алгоритма решения требует от учащегося предельной концентрации
внимания и одновременного контроля многих параметров. Когда ученик
думает, ему приходится напрягать свою память с удвоенной силой,
эксплуатировать ее в каком-то смысле в экстремальных условиях - на
пределе возможностей. Ячейки памяти вынуждены в этом случае работать
на два фронта. Во-первых, в них должна удерживаться вся ранее
полученная информация об исследуемых объектах (объем которой по ходу
решения задачи только растет), промежуточные результаты вычислений и
преобразований, структура изучаемых объектов, различные свойства и
взаимосвязи между ними. Во-вторых, в определенные моменты для
последующей обработки в эти ячейки (как в ОЗУ компьютера)
«подгружаются» (как из ПЗУ компьютера) еще и теоретические сведения.
В зависимости от навыков работы с каждой формулой, на различных
стадиях анализа ее применения происходит либо ее отбор, либо она
«выгружается» обратно и «подгружается» следующая. И так многократно,
перебирая в голове все варианты использования «погруженной» формулы,
с различной для каждого варианта скоростью.
Количество таких операций может потребовать от ученика значительных
ресурсов его организма, концентрации внимании и определенной
пропускной способности в обработке потока данных. Иначе, головной
мозг или не будет успевать перерабатывать поступающую информацию,
или не сможет удерживать результаты этой обработки в полном объеме,
или вообще не сможет организовать такой процесс.
Любое переключение внимания (к примеру, на поиск нужной формулы в
учебнике) отвлекает от главного – построения алгоритма решения,
принося как минимум ошибки, а как максимум полное «зависание
системы». Роясь в учебниках и справочниках, в шпаргалках и в
собственных записях ученик порой не понимает, что мешает себе
работать. И не только себе, но еще и репетитору. Вместо обучения
применимости (причем нескольких формул сразу) и проведения работы по
запоминанию приемов и алгоритмов, репетитор вынужден спасать занятие
от «зависания» на одной формуле. Если она еще и не закреплена с
учеником на достаточном количестве проводимых по ней простых
преобразований, то ученик, во-первых, не вспомнит, как с ней
работать, а во-вторых, не имея четкого представления об особенностях
получающихся по ней результатов, отправит ее в процессе отбора в
категорию «негодных».
Стратегия выведения формул на экзамене также неоптимальна.
Во-первых, ученик может вывести их с ошибкой. Во-вторых, потребуется
помнить алгоритм вывода, что в свете огромного количества учебного
материала по зубам только очень сильным абитуриентам. В-третьих,
выводы формул требуют от ученика дополнительных ресурсов (как
временных, так и физиологических), расход которых приведет к
снижению внимания и усталости. Репетитор по математике, работающий с
методикой «все необходимое выводится», помимо проведения работы по
пониманию доказательства, должен быть уверен в способностях ученика
запомнить все его этапы и повторить их через весьма приличный
временной промежуток, да еще и в нервной обстановке экзамена.
Лучший вариант – учить формулы наизусть до их применения при решении
содержательных задачах.
Занятия с репетитором здесь имеют неоспоримые преимущества,
поскольку каждый ребенок имеет свои особенности работы памяти.
Индивидуальная помощь в этом случае более адресная. Каждая ситуация,
конечно, требует своего подхода, но любая методика должна учитывать
два главных принципа организации работы, направленной на заучивание:
1) Удерживать внимание ребенка на выбранном объекте как можно
дольше.
Все физиологические процессы в организме подвержены влиянию такого
параметра, как время. Если не обращаться многократно к ячейкам
памяти и не использовать находящуюся в них информацию, то эта
информация постепенно стирается. И чем чаще мы ее используем, тем
дольше она сохраняется. Именно поэтому режим занятий «раз в неделю»
может свести «на нет» все попытки репетитора получить достойный
результат работы, и подходит только действительно сильным ученикам.
Если на занятия выделено достаточно времени, грамотный репетитор
предложит ребенку для запоминания формул специальные задания. Они
должны быть максимально интересными и разнообразными, иначе можно
устать от одного и того же. Выбор методов, пропорции между объемами
заданий и видами деятельности ученика, определяются индивидуально.
2) Пользоваться приемами, упрощающими запоминание.
В основу этих приемов ложатся принципы работы зрительной, слуховой,
ассоциативной, двигательной, моторной памяти. Каналы получения
информации у каждого ребенка работают по-своему. С разной
надежностью и разной скоростью обработки поступающей через них
информации, разной чувствительностью к внешним раздражителям.
Выявить наиболее активные из этих каналов может только
репетитор-профессионал высочайшего уровня, имеющий за плечами
большой опыт индивидуальной работы.
На практике каждый преподаватель по-своему подходит к решению
проблемы заучивания. Разберем наиболее удачные из этих подходов, а
также рассмотрим мои собственные приемы на примере самого объемного
и трудного для запоминания раздела математики – тригонометрии.
Решать проблему заучивания формул нужно поэтапно.
1) Многие преподаватели по ошибке считают, что для прочного
запоминания обязательно нужно доказывать формулы и спрашивать эти
доказательства с ученика. Но смысловые связи в большей степени
обеспечивают лучшее понимание, а не запоминание. Конечно, смысловая
память человека позволяет удерживать информацию достаточно долго, но
только если эти взаимосвязи лежат на поверхности. В случае с
формулами мы работаем с «упакованными объектами» с большим временем
доступа к развернутом их состоянию. К тому же такой требует не
только определенной базы знаний и способностей ученика воспринимать
новую информацию в больших объемах, но и достаточного времени на
применение данной методики. К сожалению, финансовые возможности
родителей вносят в работу репетитора существенные временные
ограничения. Труднее всего работать, когда к репетитору обращаются
за помощью непосредственно перед экзаменом с единственной целью -
сдать его любой ценой. Приходится полностью отстраниться от
каких-либо доказательств и заниматься исключительно применением
формул. Однако если работа преподавателя проходит всё же в
относительно комфортных условиях и со способным учеником, то
классическая форма изучения математики уже может рассматриваться как
средство для заучивания содержания формул.
В некоторых случаях можно доказать все основные формулы, в некоторых
- часть из них. Вклад доказательств в систему заучивания окажется не
столь весомым, как при других видах деятельности, но все-таки пользы
будет больше, чем «вреда» (связанного с расходом времени). Запомнив
какую-то особенность вывода формулы, способный ученик сможет связать
ее с общей структурой или с какой-нибудь частью ее «визуальной
картинки». Например, зная, как выводится формула площади
произвольного четырехугольника через формулу площади треугольника
1/2abSinA, ученик может вспомнить, что в итоге в первую из второй
тоже попадает синус (половина произведение диагоналей на синус угла
между ними).
Если способности ребенка не позволяют работать на таком уровне,
расчет на смысловую памятью не принесет результатов и формулы лучше
сразу выписать в отдельную теоретическую тетрадь (почти со всеми
учениками я веду такие тетради). Функция этой тетради – собрать
воедино весь вспомогательный материал, к которому ученик
периодически возвращается. Когда это необходимо, можно получить
быстрый доступ к любым графикам, формулам, вспомогательным
табличкам, свойствам, блок-схемкам, равносильным переходам,
подсказкам к применению алгоритмов решения базовых задач и др.
Если почерк ученика позволяет разобрать написанное, лучше всего ему
самому вести эту тетрадь (преподаватель пишет формулы на листочке, а
ученик переписывает их в тетрадь). Если почерк далек от
совершенства, репетитор делает записи самостоятельно. В любом случае
не стоит пользоваться готовыми шпаргалками и справочниками. Почему?
Во-первых, в них может находиться много лишней для конкретного
ученика информации, а во-вторых, движения руки тоже запоминаются,
причем вместе с картинкой, на мельчайшие детали которой внимание
концентрируется узконаправленно (именно на то, что в данный момент
выписывается). Работа двигательной и зрительной памяти – очень
хороший инструмент для запоминания.
Далее этого очень важный этап: анализ формул изучаемой группы,
выявление аналогий и взаимосвязей в их содержании. Определенные
закономерности между формулами можно подметить почти всегда.
Смотрим, что есть у формул общего, чем они отличаются, сопоставляем
их с формулами другой изученной группы. На этом специально следует
сделать акцент, поскольку механизмы работы ассоциативной памяти
позволяют максимально долго удерживать информацию по сравнению с
любой из других ее видов.
Например, в формулах двойного угла коэффициент 2, стоящий под знаком
тригонометрической функции всегда «переползает» или в коэффициент
выражения (в формуле синуса двойного угла), или в показатель степени
(в формулах косинуса двойного угла). Далее, в свойстве четности
функции косинуса знак «минус» при переходе при записи правой части
пропадает, а в свойстве разности косинусов обратно к нам
возвращается с коэффициентом «минус два». И происходит такое
воскрешение только в одной единственной формуле CosA-CosB.
Во всех длинных тригонометрических формулах с синусами (суммы и
разности функций, суммы и разности углов) перемножаются РАЗНОИМЕННЫЕ
ФУНКЦИИ. В случае с косинусами – ОДНОИМЕННЫЕ. Я всегда вписываю эти
два слова в теоретическую тетрадь и использую их в качестве
подсказок. Таким образом, уходит проблема с окончанием записи всех
произведений. А с чего начинать выписывать формулы? И для старта
помогают аналогии: большинство правых частей тригонометрических
формул сложения начинаются с той же функции и с того же угла, что
стоят в левой части, а в формулах сложения функций еще и с того же
алгебраического действия внутри дробей. Просто и легко. Увидел сумму
синусов – начинай с синуса полусуммы. Формулу CosA-CosB следует
рассматривать как выпадающую из общей закономерности формул такого
типа сразу по двум пунктам
1) нарушения сохранности начальных функций
2) наличия в ее правой части «воскресшего» знака минус (в
коэффициенте «-2» от четности косинуса).
У формул с косинусами вообще сплошные сюрпризы, отличия, смены…
Все эти заметки можно подать ученику в виде рассказа, которым
репетитор убьет «двух зайцев»: удержит внимание на объектах
заучивания и включит в работу ассоциативную память. Кратковременное
запоминание часто увеличивается в разы, и около 90% учеников, после
всех анализов и рассказов, правильно выписывают формулы одной группы
с первого раза. Длина формул запоминается быстрее, чем ее мелкие
детали. Поэтому для запоминания длинных формул необходимо уделить
время разбору особенностей перехода от одного множителя к другому,
от одного выражения (угла) под знаком тригонометрической функции к
другому.
Я часто предлагаю ученикам специально отобранные коротких фразы в
помощь при выписывании правых частей формул, например
1) В формулах приведения я говорю «определяй четверть, знак, смену
функции». Сокращенно ЧЗС.
2) В формулах SinA±SinB= … запись правых частей сопровождается
текстом «эта же функция и это же действие, затем меняй функцию и
меняй действие»
В формулах повышения (или понижения) аргумента можно заметить, что
при увеличении степени выражения в несколько раз угол уменьшается во
столько же раз (за исключением тех формул, в чьих выводах
используется основное тригонометрическое тождество). Если ученик это
запомнит, то и с углами ошибется.
На следующем этапе, в отдельных случаях, полезно потратить время на
прочтение формул слева направо, а затем справа налево (это особенно
важно, если у ребенка слуховая память работает не хуже зрительной).
Если репетитор замечает, что он проговаривает формулу до ее
применения (произносит её вслух или в полной тишине выдает этот
процесс движением губ), то ему обязательно нужна такая форма работы.
Можно попросить прочитать одну, а затем и все формулы по
теоретической тетради (и лучше несколько раз), затем закрыть ее и
произнести то же самое в любой удобной ученику последовательности.
После этого задать ученика эту последовательность. Репетитор
зачитывает левую часть формулы, а ученик произносит правую. Потом,
наоборот – по правой называет левую. Можно скомбинировать устную
работу с письменной. Репетитор зачитывает одну часть формулы –
ученик записывает другую.
Задания при работе с такой формой заучивания могут быть самыми
разными применяться на различных этапах работы с формулами. Если
репетитор уже начал решать с ребенком задачи и их содержание не
требует максимальной концентрации внимания, - можно периодически
останавливать ученика в момент использования формулы и просить
прочитать или записать на черновике ее окончание (правую часть). В
дальнейшем, услышав от репетитора опорную фразу «синус двойного
угла», ученик сможет быстро выписать связанное с ней выражение
2SinXCosX.
2) Если на слух информация не запоминается, надо учить формулы в
процессе письма. Методика такая же, как в работе со слуховой
памятью. Разница в том, что ребенок выполняет те же задания
письменно.
3) Работа со зрительной памятью будет более эффективной, если самые
важные особенности формул будут выделяться в цвете или будут
соответствующим образом подчеркнуты. Я всегда выделяю двойные углы в
соответствующих формулах, а в формуле разности углов Sin(Х-У)=SinXCosY-CosXSinY
подчеркиваю два первых икса, потому что в левой части именно этой
формулы важен порядок расположения уменьшаемого и вычитаемого. Цвет
позволяет расставить акценты на наиболее важных моментах теории,
выделить главное для заучивания, а также быстрее концентрировать
внимание ученика. Можно говорить: «посмотри на угол AОВ и угол МОN»,
а сказать «посмотри на красный и синий угол». Конечно, не стоит
увлекаться цветом и раскрашивать всю тетрадь, иначе ничего
выделяться из общей пестрой палитры не будет.
4) Итак, формулы одной группы запомнились. При переходе к следующей
группе необходимо иметь ввиду, что новая информация постепенно
вытесняет из головы старую. Заучить одну формулу не представляет
труда, а вот удержать все сразу – значительно тяжелее. Главным
помощником репетитора здесь будет регулярное повторение и
многократное обращение к ранее заученному. Чем шире разброс – тем
лучше. Частично эту функцию несут в себе решаемые учеником
практические задачи, качество которых определяется количеством
обращений к различным формулам внутри одного задания. Но эта
оптимизация весьма трудна для репетитора, потому как длинная задача
может быть предложена не каждому ученику и не на каждом этапе
обучения. Если задачи решаются с трудом именно по причине
незапоминания, то лучше всего использовать отдельные упражнения,
направленные на заучивание всех формул сразу. В большинстве случаев
оптимальным вариантом будет многократное переписывание формул. По
левым частям пишем правые, затем по правым – левые. Сначала из одной
группы, затем из разных. Процесс письма моделирует реальную ситуацию
применения формулы на практике и заставляет включить в работу сразу
два вида памяти: зрительную и моторную (двигательную). Письменные
упражнения лучше способствуют ускорению процесса изучения объекта,
поскольку перед любым анализом использования его свойств объект
сначала выделяется из общей массы в виде графического образа.
Для разнообразия можно предложить такое задание: на столе лежат
карточки с формулами вперемешку. Задача ученика - найти в этой массе
части одной формулы и положить их рядом. Эффект от такой работы даст
о себе знать достаточно быстро. Хитрость в том, что вместе с
найденной формулой ему приходится посматривать и другие карточки
(причем сразу все, и по нескольку раз). Активно используется
зрительная память, через которую человек получает 70% всей
информации. Желательно такие задания давать ребенку регулярно в
начале каждого урока на 5–10минут. Если репетитор видит ошибки, то
можно удалить из списка несколько правильно найденных формул и
повторить задание. Внимание ученика будет сконцентрировано на том,
чего он не вспомнил. В зависимости от вида ошибок репетитор может
выкладывать определенные части формул в нужном порядке
самостоятельно, а от ученика потребуется найти окончания. Виды
заданий зависят от каждой конкретной ситуации. Можно предложить
заполнить пропуски в готовых формулах, выписанных на карточках.
Можно усложнить условия работы: требуется собрать разорванные
формулы на карточках, в которых есть еще и пропуски. Таким образом и
сильному ученику будет интересно.
В последнее время я начал использовать аудиозадания для заучивания.
Можно записать ученику МП3 файл в телефон с образцами чтения формул
для многократно прослушивания дома или в транспорте. Для того, чтобы
убедиться в том, что ребенок не схалтурил, а действительно прослушал
(хотя бы один раз) от начала и до конца, можно вставить в
аудиодорожку несколько фраз с кодовыми числами (разбросать их
произвольно по ходу записи). Эти кодовые числа надо записать на
листок и показать репетитору к следующему занятию.
Письменные задания на заучивание формул ученик может также выполнять
самостоятельно (в качестве Д/З). На чистом листе он выписывает все
формулы, которые помнит. Далее, открываем теоретическую тетрадь и
сравниваем: не забыл ли он какую-нибудь из них, нет ли ошибок. Если
что-нибудь не так – переделывается заново. Конечно, для выполнения
такого задания требуется желание ученика работать дополнительно и
способности организовывать эту работу без посторонней помощи. Как
правило, у абитуриентов и то, и другое присутствует. Если ученик не
помнит формулы вообще, то их кусочки переписываются на листок
напрямую из теоретической тетради (левые или правые части), а затем,
через некоторое время, процесс завершается с закрытой тетрадью.
Опять смотрим, все ли правильно. В случае появления ошибки весь лист
переписывается заново, а формула, в которой допущена ошибка,
дублируется в начало нового листка и в конец. И так, пока не
появится лист без ошибок.. Если ученик самостоятельно не может этим
заняться (чаще всего дети делают только то, что задают), то
репетитор может провести такую работу на занятии (если позволяет
время) или приготовить эти листочки заранее и прикрепить их к
домашнему заданию.
5) Завершающий этап заучивания формул – практика их применения в
преобразованиях, уравнениях и вычислениях. Наибольшие сложности
возникают в работе с формулами двойного угла, поскольку они
применимы к любым синусам и косинусам из-за возможности любой угол
(выражение под их знаком) считать двойным. Важно донести эту мысль
до ученика, закрепляя взаимосвязь между объектами α и 2α
соответствующими упражнениями. Но это отдельная тема.
6) Полезно вести отдельную тетрадь для ошибок. Каждый лист тетради
делится на две колонки. В левую заносим формулу когда-либо
использованную с ошибкой и выделяем эту ошибку цветом, а в правую –
верный вариант. Я часто использую такую методику для заучивания
таблицы умножения с маленькими учениками.
7) Хороший способ заставить ребенка окунуться в мир формул – это
повесить листочек с ними на двери комнаты или найти для него
какое-то постоянное место у письменного стола. Нелишним будет
отсканировать формулы и сделать их фоновым рисунком рабочего стола в
компьютере ученика. Репетитор должен использовать предоставленную
ему уникальную возможность влиять на обстановку, в которой находится
ученик вне занятий и максимально увеличить частоту появлений формул
перед его глазами.
В заключении хотелось бы отметить, что большинство учебников и
справочников предлагают списки тригонометрических формул в неудобной
для заучивания форме. Одновременно с этим, важные формулы иногда
пропускаются, а в довесок к базовым предлагаются лишние
формулы-следствия, которые не обязательно знать, чтобы решать
задачи. Ученик, перегруженный обилием математических символов и
знаков, часто не ориентируется в том, что и как ему следует учить.
Хороший репетитор обязан помочь ему в этом важном вопросе.
|
| |
|
Репетитор математики Колпаков
А.Н. проводит занятия со школьникми и абитуриентами (подробная
информация). |
| |
| В рубрике
"Точка зрения репетитора" размещаются
статьи преподавателей, репетиторов, обращенные к
широкому кругу проблем обучения, подготовки в
вузы. В этой рубрике преподаватель обращается к
своему опыту, отстаивает свою точку зрения.
Материалы для этой рубрики принимаются по адресу
info@repetitor.org с заголовком
"Точка зрения". |
|
right
|
|
|
